Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn

1
LỜI MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và
xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình
trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan
hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó.
Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà
toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi.
Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số
nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình
trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên
nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các
số nguyên.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở
Chương 2 và Chương 3.
Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng
của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo
chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của
các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên
trường hữu hạn F
q
cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu
hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11).
Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm
Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các
định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12).
Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng
2
minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương
trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý
Fermat trên trường hữu hạn.
Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó.
Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi.
Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p ✏ 4f   1 đều
là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng
Jacobi để tìm số nghiệm của phương α
1
x
k
1
1
  ☎ ☎ ☎   α
n
x
k
n
n
✏ α trên trường F
p
.
Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng
A
1
x
m
1
1
  A
2
x
m
2
2
✑ A ♣mod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi
còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các
ví dụ minh họa.
Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.
Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận
văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng
Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan
Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của
thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn
chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận
được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
3
Chương 1
ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN
Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Trong chương này chúng tôi
trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về đặc trưng của G. Bên cạnh đó,
chúng tôi cũng giới thiệu một đặc trưng môđun k của vành các số nguyên Z
và các đặc trưng của trường hữu hạn F
q
. Kiến thức trong chương này được
chúng tôi trình bày dựa trên các tài liệu [4], [5], [9], [10].
1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n viết theo lối
cộng. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân C
✝
các số phức khác không. Nói cách khác, một đặc trưng của nhóm G là một
hàm χ : G ÝÑ C
✝
thỏa mãn χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq với mọi a, b  G.
Kí hiệu là χ
0
là đặc trưng tầm thường, tức là χ
0
♣aq ✏ 1 với mọi a  G.
Chú ý 1.1.2. Từ định nghĩa ta có χ♣aq
n
✏ χ♣naq ✏ χ♣0q ✏ 1 với a  G. Do
đó χ♣aq chính là căn bậc n của đơn vị và χ♣✁aq ✏ χ♣aq
✁1
✏ χ♣aq.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử χ và χ
✶
là hai đặc trưng của nhóm G. Tích của
hai đặc trưng χ và χ
✶
là ánh xạ được xác định bởi
χχ
✶
: G ÝÑ C
✝
a ÞÝÑ χχ
✶
♣aq :✏ χ♣aqχ
✶
♣aq.
Rõ ràng ánh xạ này cũng là một đặc trưng của G. Hơn nữa, tập hợp tất
cả các đặc trưng của G lập thành một nhóm giao hoán với phép toán nhân
như trên. Cụ thể, ta có định lý sau.
4
Định lý 1.1.4. Tập các đặc trưng của nhóm G lập thành một nhóm giao
hoán, kí hiệu là
♣
G, với phép toán nhân được xác định như trên.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được
♣
G là một nhóm giao hoán với đơn
vị là χ
0
.
Định nghĩa 1.1.5. Nhóm
♣
G được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G.
Ví dụ 1.1.6 (Đặc trưng của nhóm Z
n
). Gọi ω ✏ e
2πi
n
là căn bậc n của đơn vị,
các ánh xạ χ
j
: Z
n
ÝÑ C
✝
xác định bởi χ
j
♣aq ✏ ω
ja
, j  Z là các đặc trưng
của Z
n
. Thật vậy, ta có χ
j
♣aq  C
✝
và χ
j
♣a  bq ✏ ω
j♣a bq
✏ χ
j
♣aqχ
j
♣bq, j  Z.
Nên χ
j
là đặc trưng của Z
n
. Ngoài ra ta có các sự kiện sau.
♣iq χ
j
✏ χ
k
nếu và chỉ nếu j ✑ k ♣mod nq. Thật vậy, vì χ
j
✏ χ
k
nên χ
j
♣1q ✏ χ
k
♣1q. Do đó ω
j
✏ ω
k
hay j ✑ k ♣mod nq. Ngược lại, nếu
j ✑ k ♣mod nq thì ω
J
✏ ω
k tn
✏ ω
k
. Hay χ
j
✏ χ
k
.
♣iiq χ
j
✏ χ
j
1
. Thật vậy, với mọi a  Z
n
ta có
χ
j
♣aq ✏ ω
ja
✏ ♣ω
a
q
j
✏ ♣χ
1
♣aqq
j
.
Do đó ta có χ
j
✏ χ
j
1
.
♣iiiq
①
Z
n
✏ tχ
0
, , χ
n✁1
✉. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh
①
Z
n
là nhóm
xyclic cấp n. Ta có χ
1
là phần tử sinh của nhóm
①
Z
n
và χ
n
✏ e
2πi
✏ 1 ✏ χ
0
.
Ngoài ra, giả sử tồn tại 0 ➔ n
✶
➔ n sao cho χ
n
✶
✏ χ
0
. Khi đó n⑤n
✶
. Điều này
vô lý. Vậy
①
Z
n
là nhóm xyclic cấp n, hay
①
Z
n
✏ tχ
0
, , χ
n✁1
✉.
♣ivq
①
Z
n
✕ Z
n
. Từ ♣iiiq ta có đẳng cấu trong ♣ivq.
Mệnh đề 1.1.7. Cho h : G
1
ÝÑ G
2
là một đồng cấu nhóm và χ là một đặc
trưng của nhóm G
2
. Đồng cấu nối của χ bởi h được kí hiệu là h
✍
χ xác định
bởi h
✍
✏ χ ✆ h (hợp thành của χ và h) là một đặc trưng của nhóm G
1
.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ quy tắc hợp thành của hai đồng cấu.
5
Mệnh đề 1.1.8. Nếu G
1
, G
2
là hai nhóm Abel hữu hạn và đẳng cấu với nhau
thì hai nhóm đối ngẫu
①
G
1
,
①
G
2
tương ứng của chúng cũng đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Giả sử h : G
1
ÝÑ G
2
là một đẳng cấu và χ
2
là đặc trưng của
nhóm G
2
, xét sơ đồ
G
1
h
//
χ
1
!!
C
C
C
C
C
C
C
C
G
2
χ
2

C
✝
Theo Mệnh đề 1.1.7, ta có đồng cấu nối χ
2
✆ h là đặc trưng của nhóm G
1
,
nên mỗi đặc trưng χ
1
của nhóm G
1
là đồng cấu nối nào đó giữa χ
2
và h. Khi
đó ánh xạ
h
✍
:
①
G
2
Ñ
①
G
1
χ
2
ÞÝÑ h
✍
♣χ
2
q :✏ χ
2
✆ h
là toàn ánh.
Bây giờ ta cần chứng h
✍
là một đồng cấu và đơn ánh. Thật vậy, theo định
nghĩa của đặc trưng h
✍
ta có h
✍
♣χ
2
χ
✶
2
q ✏ h
✍
♣χ
2
qh
✍
♣χ
✶
2
q nên suy ra h
✍
là một
đồng cấu. Hơn nữa với mỗi j ✏ t1, 2✉ gọi χ
0
j
là đặc trưng tầm thường của
G
j
, khi đó nếu h
✍
χ
2
✏ χ
0
1
thì χ
2
✆ h♣aq ✏ 1 với mỗi a  G
1
, vì h song ánh
nên suy ra χ
2
✏ χ
0
2
. Do đó Ker ♣h
✍
q ✏ Id
①
G
2
là ánh xạ đồng nhất .
Vậy h
✍
là một đẳng cấu.
Mệnh đề 1.1.9. Gọi G ✏ G
1
✂ G
2
là tích trực tiếp của hai nhóm G
1
và G
2
.
Khi đó các nhóm đối ngẫu tương ứng
♣
G,
①
G
1
,
①
G
2
thỏa mãn
♣
G ✏
①
G
1
✂
①
G
2
.
Chứng minh. Ta có G ✏ t♣x
1
, x
2
q; x
1
 G
1
, x
2
 G
2
✉. Khi đó với χ
1

①
G
1
,
χ
2

①
G
2
xét tương ứng
χ : G ÝÑ C
✝
♣x
1
, x
2
q ÞÝÑ χ♣x
1
, x
2
q :✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q.
6
Dễ thấy χ là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh χ là một đặc trưng của G. Thật
vậy, với mọi ♣x
1
, x
2
q, ♣y
1
, y
2
q  G ta có
χ♣♣x
1
, x
2
q   ♣y
1
, y
2
qq ✏ χ♣x
1
  y
1
; x
2
  y
2
q ✏ χ
1
♣x
1
  y
1
qχ
2
♣x
2
  y
2
q
✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
qχ
1
♣y
1
qχ
2
♣y
2
q ✏ χ♣x
1
; x
2
qχ♣y
1
; y
2
q.
Vậy χ là một đặc trưng của nhóm G.
Tiếp theo ta chứng minh ánh xạ
Φ :
①
G
1
✂
①
G
2
ÝÑ
♣
G
♣χ
1
, χ
2
q ÞÝÑ Φ♣χ
1
, χ
2
q :✏ χ
là một đẳng cấu. Trước hết ta thấy rằng Φ là một toàn cấu. Thật vậy, với
mọi χ 
♣
G ta có χ♣x
1
, x
2
q ✏ χ♣x
1
, 0qχ♣0, x
2
q ✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q, do đó luôn tồn
tại ♣χ
1
, χ
2
q 
①
G
1
✂
①
G
2
sao cho Φ♣χ
1
, χ
2
q ✏ χ. Hay Φ là một toàn cấu. Hơn
nữa, với ♣χ
1
, χ
2
q, ♣χ
✶
1
, χ
✶
2
q 
①
G
1
✂
①
G
2
, giả sử ♣χ
1
, χ
2
q ✏ ♣χ
✶
1
, χ
✶
2
q ta có
χ♣x
1
, x
2
q ✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q ✏ χ
✶
1
♣x
1
qχ
✶
2
♣x
2
q ✏ χ
✶
♣x
1
, 0qχ
✶
♣0, x
2
q ✏ χ
✶
♣x
1
, x
2
q.
Do đó χ ✏ χ
✶
, hay Φ là đơn cấu. Từ đó suy ra được Φ là một đẳng cấu.
Hệ quả 1.1.10. G ✕
♣
G.
Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn nên G ✕ Z
n
1
✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Z
n
k
và theo
Mệnh đề 1.1.9 ta có nhóm đối ngẫu
♣
G ✕
②
Z
n
1
✂ ☎ ☎☎ ✂
②
Z
n
k
. Do đó G ✕
♣
G.
1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng
Mệnh đề 1.2.1 ([4, Proposition 1.1]). Với mọi đặc trưng không tầm thường
χ của G ta luôn có
➳
aG
χ♣aq ✏ 0.
7
Chứng minh. Đặt S ✏
➦
aG
χ♣aq. Ta sẽ chứng minh S ✏ 0. Thật vậy, chọn
b  G sao cho χ♣bq ✘ 1, với mọi χ ✘ χ
0
. Khi đó ta có
χ♣bqS ✏
➳
aG
χ♣aqχ♣bq ✏
➳
aG
χ♣a   bq ✏
➳
a bG
χ♣a   bq ✏ S.
Từ đó suy ra
S♣χ♣bq ✁ 1q ✏ 0 hay S ✏ 0.
Hệ quả 1.2.2. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Khi đó
(i) Nếu χ là một đặc trưng của G thì
➦
xG
χ♣xq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ ✏ χ
0
,
0, nếu χ ✘ χ
0
.
(ii) Nếu x  G thì
➦
χ
♣
G
χ♣xq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu x ✏ 0,
0, nếu x ✘ 0.
Chứng minh. ♣iq Nếu χ ✏ χ
0
thì
➦
xG
χ
0
♣xq ✏
➦
xG
1 ✏ n ✏ ⑤G⑤. Nếu χ ✘ χ
0
thì theo Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra được
➦
xG
χ♣xq ✏ 0.
♣iiq Với x  G, xét ánh xạ
ϕ :
♣
G ÝÑ C
✝
χ ÞÝÑ ϕ♣χq :✏ χ♣xq.
Dễ thấy ϕ là một đặc trưng của
♣
G và do đó theo trên ta có
➦
χ
♣
G
ϕ♣χq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
✞
✞
✞
♣
G
✞
✞
✞
, nếu ϕ ✏ ϕ
0
,
0, nếu ϕ ✘ ϕ
0
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ♣xq ✏ χ
0
♣xq,
0, nếu χ♣xq ✘ χ
0
♣xq
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ♣xq ✏ 1,
0, nếu χ♣xq ✘ 1
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu x ✏ 0,
0, nếu x ✘ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.3 (Hệ thức trực giao tổng quát). Cho G là một nhóm Abel hữu
hạn cấp n. Khi đó
8
(i) Nếu χ, ψ 
♣
G thì
➦
aG
χ♣aqψ♣aq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ ✏ ψ,
0, nếu χ ✘ ψ.
(ii) Nếu a, b  G thì
➦
χ
♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu a ✏ b,
0, nếu a ✘ b.
Chứng minh. ♣iq Nếu χ ✏ ψ thì χ♣aqχ♣aq ✏ χ♣aq
✁1
χ♣aq ✏ 1. Do đó
➳
aG
χ♣aqψ♣aq ✏ n.
Nếu χ ✘ ψ thì χψ là một đặc trưng không tầm thường. Do đó theo Mệnh
đề 1.2.1 ta có điều phải chứng minh.
♣iiq Nếu a ✏ b thì
➦
χ
♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
➦
χ
♣
G
⑤χ♣aq⑤
2
✏ n. Nếu a ✘ b thì
➳
χ
♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
➳
χ
♣
G
χ♣b ✁ aq ✏ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre
Định nghĩa 1.3.1. Cho m là một số nguyên dương, số a được gọi là thặng
dư bậc hai theo môđun m nếu ƯCLN♣a, mq ✏ 1 và phương trình đồng dư
x
2
✑ a ♣mod mq có nghiệm. Nếu ngược lại ta nói a không là thặng dư bậc hai
theo môđun m.
Định nghĩa 1.3.2. Gọi a là một số nguyên và p là một số nguyên tố lẻ. Kí
hiệu Legendre là số được xác định như sau
✂
a
p
✡
✏
✩
✬
✬
✬
✬
✬
✫
✬
✬
✬
✬
✬
✪
0, nếu p⑤a,
1, nếu phương trình x
2
✑ a ♣mod pq có nghiệm,
✁1, nếu phương trình x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm.
9
Mệnh đề 1.3.3. Gọi a, p là những số như trên. Khi đó ta có
(i)
✁
a
p
✠
✑ a
p✁1
2
♣mod pq ♣Tiêu chuẩn Eulerq;
(ii)
✁
1
p
✠
✏ 1,
✁
✁1
p
✠
✏ ♣✁1q
p✁1
2
;
(iii)
✁
a
p
✠ ✁
b
p
✠
✏
✁
ab
p
✠
;
(iv) Nếu a ✑ b ♣mod pq thì
✁
a
p
✠
✏
✁
b
p
✠
.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ♣iq, các kết quả ♣iiq, ♣iiiq, ♣ivq được suy
ra từ ♣iq.
Để chứng minh ♣iq trước hết ta chứng minh rằng phương trình x
2
✑ a ♣mod pq
có nghiệm nếu và chỉ nếu a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq. Thật vậy, giả sử phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq có nghiệm x. Khi đó
x
p✁1
✑ a
p✁1
2
♣mod pq.
Từ đó suy ra
a
p✁1
2
✑ x
p✁1
♣mod pq.
Ngoài ra, theo Định lý Fermat nhỏ ta có x
p✁1
✑ 1 ♣mod pq nên suy ra được
a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq. Ngược lại, ta giả sử a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq và gọi b là phần tử
sinh của nhóm ♣Z④pZq
✝
, khi đó luôn tồn tại số n sao cho a ✏ b
n
. Do đó ta có
b
n♣p✁1q
2
✑ 1 ♣mod pq.
Hơn nữa, b là phần tử sinh của nhóm ♣Z④pZq
✝
nên
n♣p✁1q
2
phải chia hết cho
♣p ✁ 1q tức là
n
2
phải là số chẵn. Do đó b
n
2
là nghiệm của phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq.
Tiếp theo ta chứng minh cho hai trường hợp còn lại đó là phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm và p⑤a.
Trường hợp 1: Với p⑤a ta có
✁
a
p
✠
✏ 0. Suy ra a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq.
10
Trường hợp 2: Với
✁
a
p
✠
✏ ✁1 tức là phương trình x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm.
Khi đó với mỗi 1 ➝ i ➝ p ✁ 1 tồn tại duy nhất j với 1 ➝ j ➝ p ✁ 1 sao cho
i.j ✑ a ♣mod pq. Hiển nhiên là i ✘ j, nên ta có thể nhóm các số 1, , p ✁ 1
thành
p✁1
2
cặp sao cho tích từng cặp đồng dư a theo môđun p. Từ đó suy ra
♣p ✁ 1q! ✑ a
p✁1
2
♣mod pq.
Do đó, theo Định lý Wilson ta có ✁1 ✑ a
p✁1
2
♣mod pq.
1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn F
q
, tổng Gauss
Cho F
q
là trường hữu hạn với q là lũy thừa của một số nguyên tố. Ngoài
đặc trưng của nhóm Abel ♣F
q
,  q và đặc trưng trên nhóm giao hoán ♣F
✝
q
, .q
đã được đề cập, trong phần này ta sẽ xét đặc trưng trên trường F
q
. Cụ thể
ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.1. Một đặc trưng cộng tính của trường F
q
là đặc trưng của
nhóm ♣F
q
,  q, tức là với mỗi χ 
♣
F
q
và với mọi a, b  F
q
ta có
♣iq χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq;
♣iiq χ♣0q ✏ 1;
♣iiiq χ♣✁aq ✏ χ♣aq.
Ví dụ 1.4.2. Cho F
p
là trường hữu hạn với p phần tử và F
q
là trường hữu
hạn với p
k
phần tử (p nguyên tố, q ✏ p
k
q, với mỗi x  F
q
ta định nghĩa
tr♣xq :✏ x   x
p
  x
p
2
  ☎ ☎☎   x
p
k✁1
.
Khi đó hàm ψ
a
♣xq ✏ e
tr♣axq
p
với a  F
q
là đặc trưng cộng tính của F
q
. Thật
vậy, ta có ψ
a
♣xq  C
✝
với mỗi x  F
r
và ψ
a
♣0q ✏ 1. Ngoài ra, ta có
tr♣a♣x
1
  x
2
qq ✏ a♣x
1
  x
2
q   a
p
♣x
1
  x
2
q
p
  ☎ ☎☎   a
p
k✁1
♣x
1
  x
2
q
p
k✁1
✏

Xem chi tiết: Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn