Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
không ngừng nâng cao. Từ đó đem lại cho các em niềm say mê, hứng thú với môn
toán và có thể giải quyết tốt các vấn đề trong cuộc sống. Với những lí do cơ bản như
trên, tôi chọn đề tài “Giúp học sinh trung học phổ thông (THPT) vượt qua những sai
lầm trong lập luận toán học: phần đại số” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu những khó khăn của học sinh trong quá trình học toán;
• Dự kiến những sai lầm thường gặp của học sinh trong lập luận toán học: phần đại
số và đề xuất các biện pháp khắc phục sai lầm;
• Thiết kế một số hoạt động phục vụ cho dạy học phương trình, bất phương trình.
3. Các đối tượng nghiên cứu
• Các tài liệu về những sai lầm của HS khi giải phương trình, bất phương trình.
• Các hoạt động thiết kế cho bài dạy nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm khi lập
luận toán học;
• Học sinh và giáo viên ở trường THPT.
4. Câu hỏi nghiên cứu
• Việc học của HS đạt hiệu quả ra sao khi giáo viên tiến hành dự kiến và áp dụng các
biện pháp thích hợp để khắc phục những khó khăn cho các em trong quá trình học
toán?
• Việc sử dụng các môi trường toán tích cực trên máy tính nên tiến hành như thế nào
để giúp HS vượt qua những sai lầm trong lập luận toán?
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận
• Sử dụng phương pháp phân tích – tổng hợp tài liệu;
• Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
5
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
• Phương pháp quan sát sư phạm;
• Phương pháp điều tra, phỏng vấn;
• Phương pháp dạy thực nghiệm.
6. Cấu trúc khoá luận
Chương 1: Cơ sở lí luận
1. Nguyên nhân gây nên những khó khăn cho học sinh khi học toán
2. Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn
trong học toán
3. Một số biện pháp chung trong hoạt động dạy của giáo viên nhằm giúp học sinh hạn
chế sai lầm trong lập luận toán: phần đại số
4. Một số kết quả về các sai lầm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình, bất
phương trình, chứng minh bất đẳng thức.
Chương 2: Giúp học sinh trung học phổ thông vượt qua những sai lầm trong
lập luận toán học: phần đại số
1. Chủ đề phương trình
2. Chủ đề bất phương trình.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
2. Quá trình thực nghiệm
3. Kết quả phiếu điều tra giáo viên và học sinh
4. Kết luận sư phạm.
Kết luận
6
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
CHƯƠNG 1
CCƠ SỞ LÍ LUẬN
Những sai lầm mà học sinh thường vấp phải trong lập luận toán học trước hết là do có
những khó khăn nhất định khi học toán. Cụ thể là:
• Khó khăn của học sinh khi học các khái niệm toán học;
• Khó khăn của học sinh với ngôn ngữ toán học;
• Khó khăn của học sinh khi giải quyết các vấn đề toán học;
• Khó khăn của học sinh với lập luận, chứng minh và tư duy toán học.
Vì vậy trước khi đề xuất các biện pháp nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm trong lập
luận toán học: phần đại số, cần thiết phải tìm hiểu nguyên nhân của những khó khăn
đó; đưa ra một số nguyên tắc trong việc dạy và học để tạo môi trường toán tích cực
thúc đẩy sự hiểu biết của các em.
1. Nguyên nhân gây nên những khó khăn cho học sinh khi học toán
Trong thực tế, có một bộ phận học sinh học toán dễ dàng, nhưng với nhiều học sinh
môn Toán lại là một môn học khó. Trong số các nguyên nhân, có nguyên nhân ở
chính môn Toán và những nguyên nhân ở người học.
1.1. Nguyên nhân về môn Toán
Một nhà toán học đã cho rằng, để làm chủ được toán học, người học cần phải thiết lập
được mối quan hệ giữa 3 yếu tố: đối tượng toán học, ngôn ngữ toán học và các thể
hiện cụ thể đối tượng toán học. Như vậy, muốn hiểu rõ được đối tượng toán học, học
sinh cần phải sử dụng được hệ thống ngôn ngữ toán học liên quan đến đối tượng đó;
nắm vững các thể hiện cụ thể đối tượng toán học để làm cơ sở cho việc hiểu bản chất
của đối tượng toán học.
Toán học trở thành một môn học tinh tế bởi tính phong phú, đa dạng của ngôn ngữ
toán học và các thể hiện cụ thể của đối tượng toán học. Tuy nhiên, càng tinh tế bao
nhiêu thì càng gây khó khăn cho học sinh khi học toán bấy nhiêu.
7
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
Quan niệm về 3 yếu tố cấu thành môn Toán được xem xét như sau:
a. Các đối tượng toán học là đối tượng tinh thần, là những tư tưởng được hình thành,
tồn tại trong đầu óc con người.
Nhìn lại lịch sử, trong một thời gian dài, con người không biết đến các con số. Con số
được hình thành do nhu cầu của cuộc sống cần phải đếm, tính toán các đồ vật. Chẳng
hạn, số 5 tồn tại trong đầu của chúng ta là một sự khái quát trừu tượng, trên thực tế
chỉ có 5 con bò, 5 viên sỏi, 5 cái cây. . . chứ không có số 5. Con số là một đối tượng
toán học, nó được hình thành trong đầu óc con người chứ không phải là những cái có
thật.
Những hình ảnh, mô hình của các đối tượng toán học có thể là những sự vật tồn tại
thực sự, nhưng chính bản thân các đối tượng toán học chỉ tồn tại trong đầu óc con
người. Với một đối tượng học tập như vậy, việc tổ chức quá trình hình thành các khái
niệm toán học tất yếu sẽ gặp không ít khó khăn.
b. Ngôn ngữ toán học là những hình thức diễn tả các đối tượng toán học, mối quan
hệ giữa các đối tượng đó.
Bất kì môn khoa học nào cũng có thuật ngữ riêng của nó. Ngôn ngữ toán học là một
loại thuật ngữ toán được chuyên môn hoá. Nó có ba đặc điểm cơ bản:
- Nghĩa chính xác tức là mỗi danh từ, ký hiệu hoặc những biểu thức do các ký hiệu
tạo thành đều biểu thị một ý nghĩa rõ ràng, không thể hiểu thành hai nghĩa. Ví dụ:
log
a
x
biểu thị log của x có cơ số là a, lgx là log của x có cơ số 10; y = kx (k
≠
0) biểu
thị y là hàm số tỉ lệ thuận của x;
( 0, 0)
k
y k x
x
= ≠ ≠
biểu thị y là hàm số tỉ lệ nghịch
của x, v.v
- Diễn đạt ngắn gọn. Ví dụ: câu “bình phương hiệu của a và b bằng 5” nếu dùng ký
hiệu để diễn đạt là: (a – b)
2
= 5. Qua đó ta thấy rõ, ngôn ngữ ký hiệu không những
chính xác mà còn “rút ngắn” rất nhiều so với dùng ngôn ngữ thông thường.
8
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
- Sử dụng thuận tiện, linh hoạt. Ví dụ trong công thức sau (a + b)(a – b) = a
2
– b
2
, a
và b có thể là một số hoặc biểu thức bất kì. Rộng hơn nữa, a và b trong công thức có
thể biểu thị hai ký hiệu khác vị trí. Đó là điểm khác nhau cơ bản của ngôn ngữ toán
học và ngôn ngữ thông thường.
Trên đây ta chỉ mới đưa ra ngôn ngữ ký hiệu của toán học. Thực ra, hình thức diễn
đạt của ngôn ngữ toán có hai loại: Một loại là thuật ngữ chữ viết như “hình được tạo
bởi một đầu chung của hai đoạn thẳng gọi là góc”; một loại nữa là ngôn ngữ hình
học, nó bao gồm các hình hình học, đồ thị và các lược đồ.
Như vậy, học sinh cần tư duy toán học một cách chính xác và học sử dụng chuẩn xác
ngôn ngữ toán học là điều vô cùng quan trọng. Đương nhiên đây không phải việc làm
một sáng một chiều mà cần phải có sự nỗ lực liên tục. Đây cũng là một khó khăn
trong trong việc học toán của các em.
c. Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học là cách diễn tả một cách cụ thể, trực quan
một số mặt của các đối tượng toán học. Chúng được hình thành bằng ngôn ngữ toán
học, những hình vẽ, sơ đồ. Tùy theo từng trường hợp mà xác định đó là ngôn ngữ
toán học hay thể hiện cụ thể toán học.
Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học dùng làm chỗ dựa để phản ánh từ cái cụ thể
đến tư tưởng toán học (từ trực quan đến trừu tượng) và có thể được dùng phản ánh
những tư tưởng toán học vào cái cụ thể (cụ thể hóa), là chỗ dựa của các tư tưởng toán
học, nhờ đó ta có thể suy nghĩ để giải các bài toán thuận lợi hơn. Tuy nhiên, đây cũng
là một nguyên nhân gây khó khăn cho học sinh bởi như chúng ta đã biết có những tư
tưởng toán học được nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được
trước đó.
1.2. Nguyên nhân về phía người học
Tùy theo trình độ điêu luyện của ngôn ngữ bên trong, vốn kiến thức cũ, kinh nghiệm
của các em, sự phản ánh các yếu tố bên ngoài vào bên trong đầu của mỗi người là
khác nhau, đòi hỏi những khoảng thời gian khác nhau. Ví dụ, một học sinh có thói
quen gợi lại bằng âm thanh hay lời nói, khi quan sát một hình vẽ, một ký hiệu, cần có
9
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
thời gian diễn dịch chúng thành lời nói để nắm được ý nghĩa. Còn học sinh có thói
quen gợi lại những hình ảnh nhìn thấy trong đầu, có thể hiểu nghĩa của những công
thức, ký hiệu dễ dàng hơn nhưng khi trình bày lại cho người khác hiểu bằng ngôn ngữ
thông thường cũng cần có thời gian. Đặc điểm tâm lý đó của học sinh cũng gây
không ít khó khăn cho các em trong học toán. Hay nói khác hơn là hầu hết học sinh
không giống nhau về tư duy và cách tiếp thu toán. Có học sinh hứng thú xoay xở các
bài toán và tìm ra lời giải hay, những cách tiếp cận không quen thuộc; có học sinh chỉ
muốn ở trong môi trường có cảm giác thoải mái, thích ghi lại những ví dụ trên bảng,
thực hành ở nhà, lập lại các bước giải đó trong các bài kiểm tra… rồi có những học
sinh không giải được toán nếu không có những hướng dẫn theo từng bước giải một
cách cụ thể.
Vậy nếu giáo viên không hiểu được điều đó và không có những phương pháp dạy học
phù hợp thì không những không giúp học sinh vượt qua được những khó khăn mà có
thể sẽ làm cho các em càng khó khăn hơn trong học toán.
Đến đây, có lẽ không thể không thừa nhận trách nhiệm của người giáo viên đối với
những khó khăn mà học sinh của mình gặp phải trong học toán.
1.3. Nguyên nhân về phía giáo viên và phương pháp dạy học của giáo viên
Một thực tế chung cần được thừa nhận là có 3 yếu tố làm học sinh không học toán
được, đó là:
• Chúng ta dạy toán cứ như là các ký hiệu có ý nghĩa rõ ràng và cố hữu;
• Chúng ta thường không quan tâm đến mức độ chín chắn về nhận thức của người
học. Những gì rõ ràng đối với thầy có thể xa lạ đối với học sinh;
• Chúng ta thường bỏ qua tầm quan trọng về nhu cầu của học sinh trong việc tự kiến
tạo cách hiểu toán của riêng mình.
Mặt khác, lối truyền thụ theo kiểu áp đặt của thầy giáo và sự tiếp thu hoàn toàn thụ
động của HS khiến các em có suy nghĩ rằng Toán học đã tồn tại từ lâu với những
công thức và thuật toán bất di bất dịch, sẽ không còn chỗ nào cho những ý tưởng mới,
10
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
hay ít ra là cũng không có cơ hội để những học sinh bình thường đưa ra những suy
nghĩ, cách nhìn mới từ bản thân. Hơn nữa, kết quả của việc dạy học theo kiểu áp đặt,
truyền thụ một chiều từ phía giáo viên là kiến thức toán đi vào đầu học sinh không
đúng bản chất của nó, không đầy đủ các khía cạnh và đôi khi rất trừu tượng. Chính vì
không hiểu toán, không thấy được vẻ đẹp và sự sáng tạo vốn có của toán nên đa số
học sinh ngại học toán và cho rằng toán là môn học khô khan.
Có thể nói rằng, nếu làm cho học sinh thấy rõ được những ứng dụng khác nhau của
chứng minh thì có thể cải thiện được sự đánh giá của học sinh về vai trò của chứng
minh trong toán học. Cho nên, hơn ai hết giáo viên cần phải nắm vững bản chất của
chứng minh cùng với các chức năng quan trọng của nó, từ đó mới có thể tìm ra được
những khó khăn của học sinh và có các biện pháp thích hợp giúp học sinh xây dựng
những “chiến lược” chứng minh có hiệu quả.
2. Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó
khăn trong học toán
Dựa trên những nghiên cứu về việc dạy và học theo quan điểm lý thuyết kiến tạo và
đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực, có thể đúc kết một vài nguyên tắc chung
cho việc dạy và học như sau:
2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh
Trong phương pháp tổ chức, người học - đối tượng của hoạt động “dạy”, đồng thời là
chủ thể của hoạt động “học” - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên
tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ chứ
không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt. Được đặt vào
những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm
thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó nắm được
kiến thức kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kĩ năng đó,
không rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo.
Dạy học theo cách này, GV không chỉ giản đơn truyền đạt tri thức mà còn hướng dẫn
HS hành động.
11
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
2.2. Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không
chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học.
Trong các phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học. Nếu rèn luyện cho
người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho các
em lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người, kết quả học tập sẽ được
nhân lên gấp bội. Vì vậy, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong quá
trình dạy học, nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động,
đặt vấn đề phát triển tự học ngày nay trong trường phổ thông, không chỉ tự học ở nhà
sau bài lên lớp mà cả trong tiết học với sự hướng dẫn của GV.
2.3. Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo, mỗi người giáo viên cần phải nhận thức được
rằng học sinh đến lớp không phải như một chiếc “bảng trắng”, một cái “đĩa trống”
hay một cái “hộp rỗng” đang đợi để được làm đầy, thay vào đó, học sinh đến lớp để
được tiếp cận những hoạt động học cùng với tri thức mang ý nghĩa đã có từ trước.
Khi học một vài điều mới, học sinh sẽ hiểu ý nghĩa thông tin mới dựa trên kiến thức
có trước của mình, kiến tạo cách hiểu riêng cho mình bằng cách liên kết thông tin mới
với những gì các em đã tin. Học sinh có xu hướng chấp nhận những tư tưởng mới (tri
thức mới) chỉ khi những tri thức cũ của các em không còn hoạt động hoặc tỏ ra là
không còn hiệu quả cho những mục đích mà các em cho là quan trọng.
Các nhà giáo dục Toán theo quan điểm kiến tạo khẳng định rằng bằng cách xây dựng
trên những kiến thức đã kiến tạo được, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm
và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích
tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp được khái niệm theo nhiều cách khác
nhau. Khi đó, học sinh có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về
khái niệm được xây dựng.
12
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
2.4. Giáo viên không nên đánh giá thấp về những khó khăn mà học sinh
có thể gặp phải trong quá trình tìm hiểu các khái niệm cơ bản của Toán
học
Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những
bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa
những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu
tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Điều này gây ra nhiều khó
khăn cho học sinh trong việc hình dung và hiểu các khái niệm một cách trực giác.
Một vài nghiên cứu cho thấy mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác một số câu hỏi
trong các bài kiểm tra, các bài trắc nghiệm, có thể thiết lập được các phép toán một
cách chính xác nhưng các em vẫn còn nhầm lẫn về các ý tưởng và khái niệm cơ bản.
Học sinh có thể hiểu nhưng không có khả năng chuyển sự hiểu biết đó của mình vào
những bài toán mang nhiều nội dung thực tế hơn.
2.5. Việc học của học sinh sẽ được cải tiến nếu các em nhận thức được và
đương đầu với những lỗi khái niệm của mình
Các nhà kiến tạo cho rằng học sinh học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một
môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về
toán theo cách riêng của mình. Với ý nghĩa này, thách thức đặt ra trong việc dạy học
toán là tạo ra được những hoạt động thực nghiệm thu hút được học sinh tham gia và
động viên, khuyến khích các em giải thích, đánh giá, trao đổi và áp dụng các mô hình
toán học cần thiết nhằm làm cho những kinh ngiệm này có ý nghĩa.
Có lẽ học sinh sẽ học tốt hơn khi các hoạt động được xây dựng nhằm giúp các em
đánh giá, xác minh sự khác biệt giữa những niềm tin của mỗi cá nhân đối với tri thức
và những kết quả thực nghiệm có thật. Nếu như ban đầu học sinh được yêu cầu hãy
phỏng đoán hoặc dự báo về một nội dung hay vấn đề nào đó thì các em có thể sẽ rất
quan tâm đến những kết quả thực nghiệm. Khi bằng chứng thực nghiệm đã rõ ràng là
mâu thuẫn với những dự đoán của các em, chúng ta nên giúp đỡ các em xác minh sự
khác biệt này.
13
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm
Quả thật, chính trong quá trình học sinh bị thôi thúc thu thập những kết quả thực
nghiệm và so sánh những dự đoán của mình với các kết quả đó, các em sẽ có khả
năng xác nhận bằng chứng về những lỗi khái niệm của mình.
2.6. Máy tính nên được dùng để giúp học sinh trực quan và tư duy toán
học, không nên chỉ dừng lại ở việc cung cấp các thuật toán để dự đoán kết
quả
Dạy học với sự hỗ trợ của máy tính dường như giúp học sinh nắm vững hơn các khái
niệm toán học, bằng cách cung cấp những cách khác nhau để biểu diễn cùng một đối
tượng hay cho phép học sinh thao tác các khía cạnh khác nhau của một biểu diễn cụ
thể khi khám phá đối tượng.
Các phần mềm dạy học có thể giúp học sinh hiểu những khái niệm trừu tượng.
2.7. Đổi mới đánh giá kết quả học tập của học sinh
Trong dạy học, việc đánh giá HS không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và
điều chỉnh hoạt động của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng và
điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.
Trước đây, GV độc quyền đánh giá HS. Trong phương pháp tích cực, GV phải hướng
dẫn HS phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học. Liên quan với điều
này, GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS được tham gia đánh giá lẫn nhau. Để giúp
các em trở thành những con người năng động thì việc kiểm tra, đánh giá không thể
dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học mà phải khuyến
khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết các tình huống thực tế.
2.8. Việc sử dụng các phương pháp dạy học được đề xuất không chắc
chắn rằng tất cả học sinh sẽ học toán tốt hơn
Không có phương pháp nào là hoàn hảo và sẽ có thể tác động thích hợp đối với tất cả
học sinh. Một vài nghiên cứu Giáo dục Toán đã chỉ ra rằng những nhầm lẫn khái
niệm của học sinh thường là nhanh chóng thích nghi và khá bền vững, kiên cố, các
em rất chậm để thay đổi được, ngay cả khi học sinh đó đã được đối mặt với một sự
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét