Ví dụ 6.1
Giả sử cho p = 467, =2,a = 127; khi đó:
=
a
mod p
= 2
127
mod 467
= 132
Nếu Bob muốn kí lên bức điện x = 100 và chọn số ngẫu nhiên k =213
(chú ý là UCLN(213,466) =1 và 213
-1
mod 466 = 431. Khi đó
=2
213
mod 467 = 29
và =(100-127 ì 29) 431 mod 466 = 51.
Bất kỳ ai củng có thể xác minh chữ kí bằng các kiểm tra :
132
29
29
51
189 (mod 467)
và 2
100
189 (mod 467)
Vì thế chữ kí là hợp lệ.
Xét độ mật của sơ đồ chữ kí E. Giả sử, Oscar thử giả mạo chữ kí trên bức
điện x cho trớc không biết a. Nếu Oscar chọn và sau đó thử tìm giá trị tơng
ứng, anh ta phải tính logarithm rời rạc log
x
-
.
Mặt khác, nếu đầu tiên ta chọn
và sau đó thử tim và thử giải phơng trình:
x
(mod p).
để tìm . Đây là bài toán cha có lời giải nào: Tuy nhiên, dờng nh nó cha đợc
gắn với đến bài toán đã nghiên cứu kĩ nào nên vẫn có khả năng có cách nào đó
để tính và đồng thời để (, )là một chữ kí. Hiện thời không ai tìm đợc cách
giải song củng ai không khẳng định đợc rằng nó không thể giải đợc.
Nếu Oscar chọn và và sau đó tự giải tìm x, anh ta sẽ phảI đối mặt với
bài toán logarithm rời rạc, tức bài toán tính log
??? Vì thế Oscar không thể kí
một bức điện ngẫu nhiên bằng biện pháp này. Tuy nhiên, có một cách để Oscar
có thể kí lên bức điện ngẫu nhiên bằng việc chọn , và x đồng thời: giả thiết i
và j là các số nguyên 0 i p-2, 0 j p-2 và UCLN(j,p-2) = 1. Khi đó thực
hiện các tính toán sau:
=
i
j
mod p
= - j
-1
mod (p-1)
x = - i j
-1
mod (p-1)
trong đó j
-1
đợc tính theo modulo (p-1) (ở đây đòi hỏi j nguyên tố cùng nhau
với p-1).
Ta nói rằng (, )là chữ kí hợp lệ của x. Điều này đợc chứng minh qua
việc kiểm tra xác minh :
????
Ta sẽ minh hoạ bằng một ví dụ :
Ví dụ 6.2.
Giống nh ví dụ trớc cho p = 467, = 2, =132. Giả sữ Oscar chọn i =
99,j = 179; khi đó j
-1
mod (p-1) = 151. Anh ta tính toán nh sau:
= 2
99
132
197
mod 467 = 117
=-117 ì151 mod 466 = 51.
x = 99 ì 41 mod 466 = 331
Khi đó (117, 41) là chữ kí hợp lệ trên bức điện 331 h thế đã xác minh qua phép
kiểm tra sau:
132
117
117
41
303 (mod 467)
và 2
331
303 (mod 467)
Vì thế chữ kí là hợp lệ.
Sau đây là kiểu giả mạo thứ hai trong đó Oscar bắt đầu bằng bức điện đ-
ợc Bob kí trớc đây. Giả sử (, ) là chữ kí hợp lệ trên x. Khi đó Oscar có khả
năng kí lên nhiều bức điện khác nhau. Giả sử i, j, h là các số nguyên, 0 h, i, j
p-2 và UCLN (h - j , p-1) = 1. Ta thực hiện tính toán sau:
=
h
i
j
mod p
à = (h -j)
-1
mod (p-1)
x
,
= (hx+i )
-1
mod (p-1),
trong đó (h -j)
-1
đợc tính theo modulo (p-1). Khi đó dễ dàng kiểm tra điệu
kiện xác minh :
à
x
(mod p)
vì thế (, à)là chữ kí hợp lệ của x.
Cả hai phơng pháp trên đều tạo các chữ kí giả mạo hợp lệ song không
xuất hiện khả năng đối phơng giả mạo chữ kí trên bức điện có sự lựu chọn của
chính họ mà không phải giải bài toán logarithm rời rạc, vì thế không có gì nguy
hiểm về độ an toàn của sơ đồ chữ kí Elgamal.
Cuối cùng, ta sẽ nêu vài cách có thể phái đợc sơ đồ này nếu không áp
dụng nó một cách cẩn thận (có một số ví dụ nữa về khiếm khuyết của giao thức,
một số trong đó là xét trong chơng 4). Trớc hết, giá trị k ngẫu nhiên đợc dùng
để tính chữ kí phải giữ kín không để lộ. vì nếu k bị lộ, khá đơn giản để tính :
A = (x-k )
-1
mod (p-1).
Dĩ nhiên, một khi a bị lộ thì hệ thống bị phá và Oscar có thể dễ dang giả mạo
chữ kí.
Một kiểu dung sai sơ đồ nữa là dùng cùng giá trị k để kí hai bức điện khác
nhau. điều này cùng tạo thuận lợi cho Oscar tinh a và phá hệ thống. Sau đây là
cách thực hiện. Giả sử (,
1
) là chữ kí trên x
1
và (,
2
) là chữ kí trên x
2
. Khi đó
ta có:
1
x
1
(mod p)
và
2
x
2
(modp).
Nh vậy
x
1
-x
2
1
-
2
(mod p).
Nếu viết =
k
, ta nhận đợc phơng trình tìm k cha biết sau.
x
1
-x
2
k(
1
-
2
)
(mod p)
tơng đơng với phơng trình
x
1
- x
2
k(
1
-
2
) (mod p-1).
Bây giờ giả sử d =UCLN(
1
-
2
, p-1). Vì d | (p-1) và d | (
1
-
2
) nên suy ra d |
(x
1
-x
2
). Ta định nghĩa:
x
= (x
1
- x
2
)/d
= (
1
-
2
)/d
p
= ( p -1 )/d
Khi đó đồngd thức trở thành:
x
k
(mod p
)
vì UCLN(
, p
) = 1,nên có thể tính:
= (
)
-1
mod p
Khi đó giá trị k xác định theo modulo p
sẽ là:
k = x
mod p
Phơng trình này cho d giá trị có thể của k
k = x
+i p
mod p
với i nào đó, 0 i d-1. Trong số d giá trị có có thế này, có thể xác định đợc
một giá trị đúng duy nhất qua việc kiểm tra điều kiện
k
(mod p)
6.3 chuẩn chữ kí số.
Chuẩn chữ kí số(DSS) là phiên bản cải tiến của sơ đồ chữ kí Elgamal. Nó
đợc công bố trong Hồ Sơ trong liên bang vào ngày 19/5/94 và đợc làm chuẩn
voà 1/12/94 tuy đã đợc đề xuất từ 8/91. Trớc hết ta sẽ nêu ra những thay đổi của
nó so với sơ đồ Elgamal và sau đó sẽ mô tả cách thực hiện nó.
Trong nhiều tinh huống, thông báo có thể mã và giải mã chỉ một lần nên
nó phù hợp cho việc dùng với hệ mật Bất kì (an toàn tại thời điểm đợc mã).
Song trên thực tế, nhiều khi một bức điện đợc dùng làm một tài liệu đối chứng,
chẳng hạn nh bản hợp đồng hay một chúc th và vì thế cần xác minh chữ kí sau
nhiều năm kể từ lúc bức điện đợc kí. Bởi vậy, điều quan trọng là có phơng án dự
phòng liên quan đến sự an toàn của sơ đồ chữ kí khi đối mặt với hệ thống mã.
Vì sơ đồ Elgamal không an toàn hơn bài toán logarithm rời rạc nên cần dung
modulo p lớn. Chắc chắn p cần ít nhất là 512 bít và nhiều ngời nhất trí là p nên
lấy p=1024 bít để có độ an toàn tốt.
Tuy nhiên, khi chỉ lấy modulo p =512 thì chữ kí sẽ có 1024 bít. Đối với
nhiều ứng dụng dùng thẻ thông minh thì cần lại có chữ kí ngắn hơn. DSS cải
tiến sơ đồ Elgamal theo hớng sao cho một bức điện 160 bít đợc kí bằng chữ kí
302 bít song lại p = 512 bít. Khi đó hệ thống làm việc trong nhóm con Z
n
*
kích
thớc 2
160
. Độ mật của hệ thống dựa trên sự an toàn của việc tìm các logarithm
rời rạc trong nhóm con Z
n
*
.
Sự thay đổi đầu tiên là thay dấu - bằng + trong định nghĩa , vì thế:
= (x + )k
-1
mod (p-1)
thay đổi kéo theo thay đổi điều kiện xác minh nh sau:
x
(mod p) (6.1)
Nếu UCLN (x + , p-1) =1thì
-1
mod (p-1) tồn tại và ta có thể thay đổi
điều kiện (6.1) nh sau:
x
-1
-1
(mod )p
(6.2)
Đây là thay đổi chủ yếu trong DSS. Giả sử q là số nguyên tố 160 bít sao cho q |
(q-1) và là căn bậc q của một modulo p. (Dễ dàng xây dựng một nh vậy:
cho
0
là phần tử nguyên thuỷ của Z
p
và định nghĩa =
0
(p-1)/q
mod p).
Khi đó và cũng sẽ là căn bậc q của 1. vì thế các số mũ Bất kỳ của ,
và có thể rút gọn theo modulo q mà không ảnh hởng đến điều kiện xác minh
(6.2). Điều rắc rối ở đây là xuất hiện dới dạng số mũ ở vế trái của (6.2) song
không nh vậy ở vế phải. Vì thế, nếu rút gọn theo modulo q thì cũng phải rút
gọn toàn bộ vế trái của (6.2) theo modulo q để thực hiện phép kiểm tra. Nhận
xét rằng, sơ đồ (6.1) sẽ không làm việc nếu thực hiện rút gọn theo modulo q
trên (6.1). DSS đợc mô tả đầy đủ trong hinh 6.3.
Chú ý cần có 0 (mod q) vì giá trị
-1
mod q cần thiết để xác minh chữ kí
(điều này tơng với yêu cầu UCLN(, p-1 ) =1 khi biến đổi (6.1) thành (6.2).
Nếu Bob tính 0 (mod q) theo thuật toán chữ kí, anh ta sẽ loại đi và xây dựng
chữ kí mới với số ngẫu nhiên k mới. Cần chỉ ra rằng, điều này có thể không gần
vấn đề trên thực tế: xác xuất để 0 (mod q) chắc sẽ xảy ra cở 2
-160
nên nó sẽ
hầu nh không bao giờ xảy ra.
Dới đây là một ví dụ minh hoạ nhỏ
Hình 6.3. Chuẩn chữ kí số.
Ví dụ 6.3:
Giả sử q =101, p = 78 q+1 =7879.3 là phần tử nguyên thuỷ trong Z
7879
nên ta có thể lấy: = 3
78
mod 7879 =170
Giả sử a =75, khi đó :
=
a
mod 7879 = 4576
Bây giờ giả sữ Bob muốn kí bức điện x = 1234 và anh ta chọn số ngẫu nhiên k
=50, vì thế :
k
-1
mod 101 = 99
khi đó =(170
30
mod 7879) mod 101
= 2518 mod 101
= 94
và = (1234 +75 ì 94) mod 101
Giả sử p là số nguyên tố 512 bít sao cho bài toán logarithm rời rạc
trong Z
p
khong Giải đợc, cho p là số nguyên tố 160 bít là ớc của (p-1). Giả
thiết Z
p
là căn bậc q của 1modulo p: Cho p =Z
p
. a = Z
q
ì Z
p
và định
nghĩa :
A = {(p,q, ,a, ) :
a
(mod p)}
các số p, q, và là công khai, có a mật.
Với K = (p,q, ,a, )và với một số ngẫu nhiên (mật) k ,1 k q-1,
ta định nghĩa:
sig
k
(x,k) = ( ,)
trong đó =(
k
mod p) mod q
và = (x +a )k
-1
mod q
Với x Z
p
và , Z
q
, qua trình xác minh sẽ hoàn toàn sau các
tính toán :
e
1
= x
-1
mod q
e
2
=
-1
mod q
ver
k
(x, , ) = true (
e
1
e
2
mod p) mod q =
= 96
Chữ kí (94, 97) trên bức điện 1234 đợc xác minh bằng các tính toán sau:
-1
= 97
-1
mod 101 =25
e
1
= 1234 ì 25mod 101 = 45
e
2
= 94 ì 25 mod 101 =27
(170
45
4567
27
mod 7879)mod =2518 mod 101 = 94
vì thế chữ kí hợp lệ.
Khi DSS đợc đề xuất năm 1991, đã có một vài chỉ trích đa ra. Một ý kiến
cho rằng, việc xử lý lựa chọn của NIST là không công khai. Tiêu chuẫn đã đợc
Cục An ninh Quốc gia (NSA) phát triển mà không có sự tham gia của khôi công
nghiệp Mỹ. Bất chấp những u thế của sơ đồ, nhiều ngời đã đóng chặt cửa không
tiếp nhận.
Còn những chỉ trích về mặt kĩ thuật thì chủ yếu là về kích thớc modulo p bị
cố định = 512 bít. Nhiều ngời muốn kích thớc này có thể thay đổi đợc nếu cần,
có thể dùng kích cỡ lớn hơn. Đáp ứng những đòi hỏi này, NIST đã chọn tiêu
chuẩn cho phép có nhiều cở modulo, nghĩa là cỡ modulo bất kì chia hết cho 64
trong phạm vi từ 512 đến 1024 bít.
Một phàn nàn khác về DSS là chữ kí đợc tạo ra nhanh hơn việc xác minh
nó. Trong khi đó, nếu dùng RSA làm sơ đồ chữ kí với số mũ xác minh công
khai nhỏ hơn (chẳng hạn = 3) thì có thể xác minh nhanh hơn nhiều so với việc
lập chữ kí. Điều này dẫn đến hai vấn đề liên quan đến những ứng dụng của sơ
đồ chữ kí:
1.Bức điện chỉ đợc kí một lần, song nhiều khi lại cần xác minh chữ kí
nhiều lần trong nhiều năm. Điều này lại gợi ý nhu cầu có thuật toán xác minh
nhanh hơn.
2.Những kiểu máy tính nào có thể dùng để kí và xác minh ?. Nhiều ứng
dụng, chẳng hạn các thẻ thông minh có khả năng xử lý hạn chế lại liên lạc với
máy tính mạnh hơn. Vi thế có nhu cầu nhng thiết kế một sơ đồ để có thực hiện
trên thẻ một vài tính toán. Tuy nhiên, có những tình huống cần hệ thống mình
tạo chữ kí, trong những tình huống khác lại cần thẻ thông minh xác minh chữ
kí. Vì thế có thể đa ra giải pháp xác định ở đây.
Sự đáp ứng của NIST đối với yêu cầu về số lần tạo xác minh chữ kí thực
ra không có vấn đề gì ngoài yêu cầu về tốc độ, miễn là cả hai thể thực hiện đủ
nhanh.
6.4 chữ kí một lần
Trong phần, này chúng ta mô tả cách thiết lập đơn giản một sơ đồ chữ kí
một lần từ hàm một chiều. Thuật ngữ một lần có nghĩa là bức điện đợc kí chỉ
một lần (dĩ nhiên chữ kí có thể xác minh nhiều lần tuỳ ý). Sơ đồ mô tả là sơ đồ
chữ kí Lamport nêu hình 6.4.
Sơ đồ làm viêc nh sau: Bức điện đợc kí là một bức điện nhị phân k bít. Một
bít đợc kí riêng biệt nhau. Giá trị z
i,j
tơng ứng với bít thứ i của bức điện có giá
trị j (j =0,1). Mỗi z
i,j
là ảnh hởng đến y
i,j
dới tác động của hàm một chiều f. Bít
thứ i của bức điện đợc kí nhờ là ảnh gốc(nghịch ảnh - priemage) y
i,j
của z
i,j
(t-
ơng ứng với bít thứ i của bức điện ). Việc xác minh chỉ đơn giản là kiểm tra
xem mỗi phần tử trong chữ kí có là ảnh gốc của phần tử
Hình 6.4. Sơ đồ chữ kí Lamport
khoá công khai thích hợp hay không.
Sau đây sẽ minh hoạ sơ đồ bằng việc xem xét một thực hiện dùng hàm mũ
f(x) =
x
mod p. là một phần tử nguyên thuỷ modulo p.
Ví dụ 6.4
7879 là số nguyên tố và 3 là phần tử nguyên thuỷ thuộc Z
7879
. Định
nghĩa:
Cho k là số nguyên dơng và cho p = {0,1}
k
. Giả sử f:Y Z là hàm
một chiều và cho a = Y
k
. Cho y
i,j
Y đợc chọn ngẫu nhiên. 1 i
k, j =0,1 và giả sử z
i,j
= f(y
i,j
). Khoá K gồm 2k giá trị y và 2k giá trị z. Các
giá trị của i giữ bí mật trong khi các giá trị của z công khai.
Với K = (y
i,j
,z
i,j
: 1 i k,j =0,1) , ta định nghĩa :
sig
k
( x
1
. x
k
) = (????tự đánh vào)
và ver
k
(x
1
. x
k
,a
1
. a
k
) = true f(a
i
) =????tự đánh vào
f(x) = 3
x
mod 7879
Giã sử Bob muốn kí một bức điện có 3 bít. Anh ta chọn 6 số tự nhiên (mật)
y
1,0
= 5831 y
2,1
= 2467
y
1,1
= 735 y
3,0
= 4285
y
2,0
= 803 y
3,1
= 6449
Khi đó, anh ta tính các ảnh của y dới hàm f
z
1,0
= 2009 z
2,1
= 4721
z
1,1
= 3810 z
3,0
= 268
z
2,0
= 4672 z
3,1
= 5731
Các ảnh của z này đợc công khai. Bây giờ giả sử Bob muốn ký bức điện
x = (1, 1, 0)
chữ kí trên x là:
(y
1,1
, y
2,1
, y
3,0
) = (735, 2467, 4285)
Để xác minh chữ kí, chỉ cần tính toán nh sau:
3
735
mod 7879 = 3810
3
4675
mod 7879 = 4721
2
4285
mod 7879 = 268
Vì thế, chữ kí hợp lệ.
Oscar không thể giả mạo chữ kí vì anh ta không thể đảo đợc hàm một chiều
f(x) để có các giá trị y mật. Tuy nhiên, sơ đồ đợc dùng để kí chỉ một bức điện.
Bởi vì nếu cho trớc chữ kí của 2 bức điện khác nhau. Oscar sẽ dễ dàng xây dựng
chữ kí cho bức điện khác.
Ví dụ, giã sử các bức điện (0, 1, 1) và (1, 0, 1) đều đợc kí bằng cùng một sơ
đồ. Bức điện (0, 1, 1) có chữ kí (y
1,0
, y
2,1
, y
3,1
) còn bức điện (1,0,1) có chữ kí
(y
1,1
, y
2,0
, y
3,1
). Nếu cho trớc 2 chữ kí này, Oscar có thể xây dựng các chữ kí của
bức điện (1,1,1) là (y
1,1
, y
2,1
, y
3,1
) và chữ kí cho bức điện (0,0,10 là (y
1,0
, y
2,0
,
y
3,1
).
Mặc dù sơ đồ này hoàn toàn tốt song nó không đợc sử dụng trong thực do
kích thớc chữ kí. Ví dụ, nếu ta dùng hàm số mũ modulo nh trong ví dụ ở trên thì
yêu cầu an toàn đòi hỏi p dài ít nhất 512 bít. Điều này, có nghĩa mỗi bít của bức
điện chữ kí dùng 512 bít. Kết quả chữ kí dài hơn bức điện 512 lần.
Bây giờ xét một cải tiến của Bos và Chaum cho phép chữ kí ngăn hơn một
chút song không giảm độ mật. Trong sơ đồ Lamport, lý do Oscar không thể giả
mão chữ kí trên bức điện (thứ hai) khi biết chữ kí ở bức điện là: các ảnh của y
(tơng ứng với một bức điện ) không bao giờ là tập con của các ảnh của y (tơng
ứng với bức điện khác).
Giả sử ta có tập b gồm các tập con của B sao cho B
1
B
2
chỉ khi B
1
= B
2
với mọi B
1
, B
2
b. Khi đó b đợc gọi là thoả mãn tính chất Sperner. Cho trớc
một tập B có lực lợng n chẵn, khi đó kích thớc cực đại của tập b
đợc bằng cách lấy tất cả các tập con n của B: rõ ràng không có tập con n nào
nhận đợc trong tập con n khác
Bây giờ, giã sử ta muốn ki một bức điện k bít nh trớc đây, ta chọn n đủ lớn
để.
Cho | B | =n và giả sữ b chỉ tập các tập con n của B. Giả sử :{0,1}
k
b là đơn
ánh trong công khai đă biết. Khi đó, có thể liên kết mỗi bức điện có thể với một
con n trong b. Ta sẽ có 2n giá trị của y, và 2n giá trị của z và mỗi bức điện đợc
kí bằng n ảnh của y. Hình 6.5 mô tả đầy đủ sơ đồ Bos- chaum.
Hình 6.5 Sơ đồ chữ kí Bos - chaum.
Cho k là số nguyên dơng và giả sử p={0,1}
k
. Cho n là số nguyên
lực có tậplà Bvà
n
2n
2 cho sao
k
lợng n và cho
: {0,1}
k
b
là một đơn ánh , trong đó b là tập tất cả các con n của B. Giả sử f: YZ là
hàm một chiều và A = Z
n
. Cho ??????????????
nhận dàng dễ này iềuĐ
n
2n
là Sperner chất tính có B con tập các gồm
.
n
2n
k
2
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét