các vành địa phương, nửa địa phương và sự phân tích các môđun trên chúng

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "các vành địa phương, nửa địa phương và sự phân tích các môđun trên chúng": http://123doc.vn/document/1052139-cac-vanh-dia-phuong-nua-dia-phuong-va-su-phan-tich-cac-modun-tren-chung.htm

4
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
Ký hiệu Giải nghĩa
ACC Dãy các môđun tăng (quan hệ bao hàm) đều dừng.
DCC Dãy các môđun giảm (quan hệ bao hàm) đều dừng.

)(RU
Tập các phần tử khả nghịch của vành
R


MM
RR
,
Thứ tự là các mô đun phải, trái.

RadR
Jacobson Radical của vành
R
.

Vn.
Tức là
( )
niVvvvV
in
n
, ,1,:), ,(
1
=∈=
.
Đpcm Điều phải chứng minh.












5
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong đại số giao hoán ta đã biết vành địa phương, vành nửa địa phương và địa
phương hóa một vành địa phương tại một iđêan nguyên tố của nó vô cùng quan trọng,
đóng một vai trò chủ chốt trong đại số. Nhu cầu tự nhiên chúng ta nghiên cứu lý thuyết
vành địa phương và nửa địa phương trong trường hợp không giao hoán. Trong đại số
không giao hoán việc nghiên cứu vành địa địa phương và nửa địa phương cũng tương
tự, tuy nhiên cũng gặp nhiều khó khăn nhưng chúng lại có những ứng dụng khá quan
trọng, đặc biệt là trong việc phân tích môđun hay giản ước môđun,…
Vành
R
được gọi là vành địa phương nếu
R
có duy nhất một ideal trái (hay phải)
tối đại.
Vành
R
được gọi là vành nửa địa phương nếu
radRR /
là vành artin trái
(hay
radRR /
là vành nửa đơn).
Vành địa phương và nửa địa phương trong trường hợp vành không giao hoán có
những tính chất mới lạ, đặc biệt mà trong trường hợp giao hoán không có. Ví dụ vành
địa phương gắn liền với phân tích Krull- Schmit, vành nửa địa phương gắn liền với
giản ước môđun.
Nghiên cứu vành địa phương và nửa địa phương trong đại số không giao hoán.
Cụ thể nghiên cứu vành địa phương với vấn đề phân tích môđun, vành nửa địa phương
với vấn đề giản ước môđun.
Đồng thời luận văn cũng nghiên cứu có hệ thống các lũy đẳng trong các vành
địa phương và nửa địa phương trong đại số không giao hoán.
Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn, tổng quát hơn các vành địa phương và nửa địa
phương trong đại số, đặc biệt trong cấu trúc của vành. Thấy rõ những ưu điểm nổi bậc,

6
các tính chất mới lạ của vành địa phương và nửa địa phương trong đại số không giao
hoán so với đại số giao hoán.
Luận văn được trình bày theo thứ tự sau:
Chương 1: Các kiến thức cơ bản của lý thuyết vành và môđun.
Chương 2: Các vành địa phương, nửa địa phương và ứng dụng phân tích các
môđun trên chúng.
Chương 3: Lý thuyết các lũy đẳng.






7
CHƯƠNG 1 : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH
Trong luận văn này ta quy ước khi nói tới vành
0≠R
thì ta luôn được hiểu là vành có
đơn vị, không đòi hỏi giao hoán. Nói tới môđun ta luôn được hiểu là
R
-môđun trái, khi đó chỉ
cần lấy đối ngẫu ta sẽ được
R
-môđun phải.
1.1. Các khái niệm cơ bản:
1.1.1. Một vành
)0(≠R
được gọi là đơn nếu
R
chỉ có hai iđêan là (0) và
R
.
Nhận xét: Nếu
R
là vành đơn thì
)(
RM
n
cũng vậy.
1.1.2. Một vành
R
được gọi là miền nguyên nếu
R
khác 0 và
0=ab
suy ra
0=a
hoặc
0=b
,
Rba ∈∀ ,
.
1.1.3. Một vành
R
được gọi là bất khả quy nếu
R
không có các phần tử lũy đẳng khác
0.
1.1.4. Một vành
R
được gọi là Dedekind- hữu hạn nếu
11 =⇒= baab
,
Rba ∈∀ ,
.
1.1.5. Cho
R
là một vành và
M
là một
R
-môđun trái hoặc phải.Ta nói
M
là noether
(hay artin) nếu họ tất cả các môđun con của
M
thỏa
ACC
(hay
DCC
)
1.1.6. Một vành
R
được gọi là noether trái (hay phải) nếu
R
là noether khi xem như
một
R
-môđun trái (hay phải). Khi vành
R
thỏa noether trái và noether phải ta nói
R
là
vành noether.
1.1.7. Một vành
R
được gọi là artin trái (hay phải) nếu
R
là artin khi xem như một
R
-
môđun trái (hay phải). Khi vành
R
thỏa artin trái và artin phải ta nói
R
là vành artin.
Nhận xét: Một vành artin trái (hay phải) thì luôn luôn noether trái (hay phải)
1.1.8. Cho
R
là một vành và
M
là một
R
-môđun (trái).
1)
M
được gọi là một
R
-môđun đơn ( hay bất khả quy) nếu
M
khác 0 và
M

không có
R
-môđun con nào khác (0) và
M
.

8
2)
M
được gọi là một
R
-môđun nửa đơn ( hay hoàn toàn khả quy) nếu mỗi
R
-
môđun con của
M
là một hạng tử trực tiếp của
M
.
1.1.9. Cho vành
)0(≠R
, các phát biểu sau đây tương đương:
1)Mọi dãy khớp ngắn của
R
-môđun (trái) đều chẻ.
2)Mọi
R
-môđun (trái) là nửa đơn.
3)Mọi
R
-môđun (trái) hữu hạn sinh là nửa đơn.
4)Mọi
R
-môđun cyclic là nửa đơn.
5)
R
-môđun chính quy
R
R
là nửa đơn.
Nếu một trong các điều kiện trên thỏa mãn ta nói
R
là vành nửa đơn.
Từ các khái niệm cơ bản trên chúng ta rút ra một số chú ý sau đây:
Chú ý 1: Cho một môđun
M
nửa đơn trên vành tùy ý, các phát biểu sau là tương
đương:
1)
M
là hữu hạn sinh.
2)
M
là noether.
3)
M
là artin.
4)
M
là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn.
Chú ý 2: Một vành
R
được gọi là nửa đơn nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
1)Mọi
R
-môđun trái đều nửa đơn.
2)Mọi
R
-môđun bất khả quy trái đều nửa đơn.
3)Mọi
R
-môđun trái hữu hạn sinh đều nửa đơn.
4)Mọi dãy khớp ngắn của
R
-môđun trái đều chẻ.
Chú ý 3:
1)Một
R
-môđun đơn thì luôn luôn là một
R
-môđun nửa đơn.
2)Mội môđun con của
R
-môđun nửa đơn là nửa đơn.
3)Cho
R
là vành nửa đơn trái thì
R
cũng là noether trái và artin trái.
4)Cho
R
là vành nửa đơn trái thì tất cả các
R
-môđun trái là xạ ảnh và ngược
lại.

9
5)Cho
R
là một vành và
)(RM
n
là vành các ma trận cỡ
nxn
trên
R
thì mọi iđêan
I

của
)(RM
n
có dạng
)(NM
n
, với một iđêan
N
xác định duy nhất của
R
. Đặc biệt nếu
R
là
vành đơn thì
)(RM
n
cũng vậy.
1.2. Jacobson Radical.
1.2.1. Định nghĩa: Jacobson Radical của một vành
R
là giao tất cả các iđêan trái tối
đại của
R
. Kí hiệu:
radR

Nhận xét:
1)Nếu
)0(≠R
thì tập các iđêan tối đại (trái) của
R
luôn thỏa bổ đề Zorn’s nên
luôn có phần tử tối đại, tức là định nghĩa trên tốt.
2)Cho
N
là một iđêan của
R
và nằm trong
radR
thì
NradRNRrad /)()/( =
.
1.2.2. Một vành
R
được gọi là
J
-nửa đơn (nửa nguyên thủy) nếu
0=radR

Nhận xét: Chúng ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:
1)
radRR/
là
J
-nửa đơn vì
0)/( =radRRrad
.
2)
R
và
radRR/
có cùng tính môđun đơn trái. Mội phần tử
Rx∈
là nghịch đảo
trái trong
R
nếu và chỉ nếu
Rx∈
là nghịch đảo trái trong
radRRR /=
.
3)Cho
R
là một miền nguyên
J
-nửa đơn và
a
là một phần tử khác 0 thuộc tâm
của
R
thì giao tất cả các iđêan trái tối đại không chứa
a
bằng 0.
1.2.3. Một iđêan một phía (hoặc hai phía)
N
của vành
R
được gọi là nil nếu
N
gồm
các phần tử lũy linh;
N
được gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên
n
để
0=
n
N

Rỏ ràng
N
là lũy linh thì
N
là nil.
1.2.4. Định lí:
Cho D là vành chia và đặt
)(DMR
n
=
thì
1)
R
là đơn.
2)
R
có duy nhất môđun trái đơn
M
,
R
tác động trung thành trên
M
và
MnR
R
.≅
, với
{ }
niMvvvMn
in
, ,1,:), ,(.
1
=∀∈=
.

10
3)
DMEnd
R
≅)(
.

1.2.5. Bổ đề Schur’s:
Cho
R
là một vành và
M
R
là một
R
-môđun trái đơn thì
)( MEnd
R
là một vành
chia.
1.2.6. Định lí Wedderburn-Artin:
Cho
R
là vành nửa đơn trái. Khi đó:
)( )(
1
1
rnn
DxMxDMR
r
≅
.
Trong đó
r
DDD , ,,
21
là các vành chia,
r
xác định duy nhất.
Hệ quả: Một vành nửa đơn trái thì luôn luôn là nửa đơn phải và ngược lại.
1.2.7. Định lí:
Cho
R
là một vành đơn. Các phát biểu sau là tương đương:
1)
R
là artin trái.
2)
R
là nửa đơn (trái)
3)
R
có duy nhất iđêan tối đại trái
4)
)(DMR
n
≅
, với số tự nhiên
n
và vành chia
D
nào đó.
1.2.8. Định lí Hopkins- Levitzki:
Cho
R
là vành mà
radR
lũy linh,
radRR/
nửa đơn và mọi
R
-môđun trái
M

các phát biểu sau đây tương đương
1)
M
là noether.
2)
M
là artin.
3)
M
có một chuổi hợp thành.
Đặc biệt: (A) một vành artin trái khi và chỉ khi nó là noether trái và nửa nguyên
thủy;
(B) mọi môđun trái hữu hạn sinh trên một vành artin trái có một chuổi hợp
thành.
1.2.9. Bổ đề Nakayama:

11
Cho iđêan trái
J
của vành
R
, các phát biểu sau đây tương đương.
1)
radRJ ∈
.
2) Cho mọi
R
-môđun trái hữu hạn sinh
M
,
MMJ =.
suy ra
0=M
.
3) Cho mọi
R
-môđun trái
N
thuộc
M
để
NM /
hữu hạn sinh,
MMJN =+ .

thì
MN =
.
1.2.10. Bổ đề:
Nếu một iđêan trái
RN ⊆
là nil thì
radRN ⊆
.
1.2.11. Định lí:
Cho
k
là một trường có đặc số
p
và
G
là một
p
-nhóm hữu hạn thì
radkGJ =

như iđêan của
kG
và chúng ta có
0=
G
J
. Nếu
G
được sinh như một nhóm bởi
{ }
n
ggg , ,,
21
thì
J
được sinh như một iđêan trái bởi
{ }
1, 1,1
21
−−−
n
ggg
.
1.2.12. Bổ đề:
Cho
R
là một
k
-đại số và
NM,
là các
R
-môđun trái, với
∞<M
k
dim
thì ta có
đẳng cấu tự nhiên của
k
-không gian vectơ:

),()),((:
KK
R
K
R
NMHomNMHom
K
→
θ

1.2.13. Định lí:
Cho
R
là một vành giao hoán và
S
là một
R
-đại số sao cho
S
là hữu hạn sinh
như một
R
-môđun thì
radSSradR ⊆).(
.
1.2.14. Bổ đề Brauer:
Cho
N
là một iđêan trái tối tiểu trong một vành
R
thì chúng ta có hoặc
0
2
=N

hoặc
Re=N
, với
e
là phần tử lũy đẳng của
N
.






12
CHƯƠNG 2: VÀNH ĐỊA PHƯƠNG, NỬA ĐỊA PHƯƠNG VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2.1. VÀNH ĐỊA PHƯƠNG:
Trong đại số giao hoán một vành địa phương được định nghỉa là một vành khác
)0(
mà có duy nhất một iđêan tối đại, các vành đó dạng “các vật địa phương” trong đại
số giao hoán vì cho mọi vành
R
và mọi iđêan nguyên tố
p
của
R
, địa phương hoá
R

tại
p
là một vành địa phương
p
R
với iđêan tối đại duy nhất
p
pR
.
Trong đại số không giao hoán có sự tổng quát tự nhiên khái niệm vành địa
phương, một vành
R
khác
)0(
được gọi là vành địa phưong nếu nó có duy nhất một
iđêan tối đại trái (hay phải).
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của vành địa phương và
ứng dụng của chúng.
Kí hiệu:
)(RU
là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành
R
.
2.1.1. Định lí:
Cho vành
R
khác 0, các phát biểu sau đây là tương đương
1)
R
có duy nhất một iđêan trái tối đại.
2)
R
có duy nhất một iđêan phải tối đại.
3)
radRR/
là vành chia.
4)
)(\ RUR
là một iđêan của
R
.
5)
)(\ RUR
là một nhóm với phép toán cộng.
5’)
)()( ,
2
RUa
RUaaan
in
∈∃⇒∈+++∀

5’’)
)()( RUaRUba ∈⇒∈+
hoặc
)(RUb∈

Nếu một trong các điều kiện trên thoả mãn ta nói
R
là vành địa phương.

13
Kí hiệu:
),( mR
, với
radRm =
.
Chứng minh
(3)
⇒
(1) Với mọi iđêan trái tối đại
radRm ⊃
, do
radRR/
là vành chia
nên
radRm =
.
Do đó ta có (1).
(1)
⇒
(3). Từ (1) suy ra
radR
là iđêan trái tối đại duy nhất của
R
, suy ra
radRR/

chỉ có hai iđêan trái là (0) và
radRR/
.
Vậy
radRR/
là vành chia.
Chứng minh tương tự ta cũng có (3)
⇔
(2)
(3)
⇒
(4) (xem nhận xét (1.2.2)) thì phần 5’’) suy ra 3)
Từ (3) suy ra
radRa∉∀
là phần tử khả nghịch của
R
.
Suy ra
radRRUR =)(\
là iđêan của
R
.
(4)
⇒
(5)
⇒
(5’)
⇒
(5’’) hiển nhiên.
(5’’)
⇒
(3). Lấy
radRa∉
, suy ra có một iđêan trái tối đại
m
để
ma ∉

Ta có
RRam =+
(do
RRamm ⊂+⊂
,
m
tối đại và
Ramm +≠
)
Suy ra tồn tại
baxmx +=∈ 1:
, với
Rb ∈

Ta thấy
)(RUx∉
nên từ (5’’), suy ra
)(RUba ∈
.
Suy ra
a
có nghịch đảo trái trong
radRRR /=
.
Do đó
{ }
0\R
là nhóm nhân.
Vậy
radRR/
là vành chia.
2.1.2. Mệnh đề:
Cho
R
là vành địa phương bất kỳ.
a)
R
có duy nhất iđêan tối đại.
b)
R
là vành Dedekind hữu hạn.
c)
R
không có các luỹ đẳng không tầm thường.